[TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS
BSGS 可以在 $O( \sqrt{ p } ) $ 的复杂度下求解：
$$ a ^ x \equiv b \pmod {p}$$
其中 $a \perp p$，方程的解 $x$ 满足 $0 \le x < p$。
首先我们假设 $x = A \left\lceil \sqrt{ p } \right\rceil - B $，其中 $0 \le A , B \le \left\lceil \sqrt{ p } \right\rceil$，于是就有：
$$ a ^ { A \lceil \sqrt{ p } \rceil - B } \equiv b \pmod { p }$$
变形一下就能得到：
$$ a ^ { A \lceil \sqrt{ p } \rceil } \equiv b a ^ B \pmod { p }$$
右边的值我们可以通过枚举得到所有可能的值，并将其存入 Hash 表中，左边再枚举 $A$，发现表中若有相同的值，说明我们找到了一个可能的解。
最后时间复杂度 $O ( \sqrt { p } )$，用 map 的话就是 $O( \sqrt { p } \log p )$。
代码：
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| #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
namespace Ehnaev{
inline ll read() {
ll ret=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<48||ch>57) {if(ch==45) f=-f;ch=getchar();}
while(ch>=48&&ch<=57) {ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;ch=getchar();}
return ret*f;
}
inline void write(ll x) {
static char buf[22];static ll len=-1;
if(x>=0) {do{buf[++len]=x%10+48;x/=10;}while(x);}
else {putchar(45);do{buf[++len]=-(x%10)+48;x/=10;}while(x);}
while(len>=0) putchar(buf[len--]);
}
}using Ehnaev::read;using Ehnaev::write;
const ll N=1e6;
ll p,a,b,ans,sp,tot;
ll nxt[N+5],val[N+5];
map<ll,ll> head;
inline ll Pow(ll b,ll p,ll mo) {
ll r=1;while(p) {if(p&1) r=r*b%mo;b=b*b%mo;p>>=1;}return r;
}
inline void Addhash(ll x,ll v) {
val[++tot]=v;
if(head.find(x)!=head.end()) nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
inline void Findhash(ll x,ll v) {
if(head.find(x)!=head.end()) {
for(ll i=head[x];i;i=nxt[i]) {
ll tmp=v*sp-val[i];
if(tmp>=0) {if(ans<0||tmp<ans) ans=tmp;}
}
}
}
int main() {
p=read();a=read();b=read();sp=ceil(sqrt(p));
ll r=b%p;
for(ll i=0;i<=sp;i++) {Addhash(r,i);r=r*a%p;}
ll sr=Pow(a,sp,p);r=1;ans=-1;
for(ll i=0;i<=sp;i++) {
Findhash(r,i);r=r*sr%p;
}
if(ans>=0) write(ans);
else printf("no solution");
return 0;
}
|