Min_Max_Tolerance_and_Exclusion

设全集 $U= \{ a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ n \} $。

设 $\min ( S ) = \min _ {a _ i \in S} a _ i$，$\max ( S ) = \max _ {a _ i \in S} a _ i$。

我们有反演结论：

$$\max ( S ) = \sum _ {T \subseteq S} ( - 1 ) ^ { | T | + 1} \min ( T )$$

反过来也是同理。

严谨证明略（咕咕咕）。

简单来说只包含最大值的集合 $T$ 最后的累积容斥系数是 1，其余的 $\min ( T ) \ne \max ( S )$ 的集合其累积容斥系数都为 0，因此最后留下的之后 $\max ( S )$。

该结论在期望下仍然成立，即：

$$E ( \max ( S ) ) = \sum _ { T \subseteq S} ( - 1 ) ^ { | T | + 1 } E ( \min ( T ) )$$