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[清华集训2012]模积和

[清华集训2012]模积和

简单容斥加上数论分块。

肯定要改写形式。

不妨设 $n\ge m$。

$$
\begin{aligned}
Ans=& \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[i\ne j](n\bmod i)(m\bmod j)
\\
=& \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\left(n-i\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\right)\left(m-j\left\lfloor\dfrac{m}{j}\right\rfloor\right)
\\
& -\sum_{i=1}^{m}\left(n-i\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\right)\left(m-i\left\lfloor\dfrac{m}{i}\right\rfloor\right)
\end{aligned}
$$

后面就是把式子拆开之后针对每一项进行计算就可以了。

找到相同的项并统一计算可以减少代码量。

因为这一部分比较 Trivial 我就略了。

时间复杂度 $O(\sqrt{n})$。

代码：

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll __int128
using namespace std;
namespace Ehnaev{
  inline ll read() {
    ll ret=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<48||ch>57) {if(ch==45) f=-f;ch=getchar();}
    while(ch>=48&&ch<=57) {ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;ch=getchar();}
    return ret*f;
  }
  inline void write(ll x) {
    static char buf[22];static ll len=-1;
    if(x>=0) {do{buf[++len]=x%10+48;x/=10;}while(x);}
    else {putchar(45);do{buf[++len]=-(x%10)+48;x/=10;}while(x);}
    while(len>=0) putchar(buf[len--]);
  }
}using Ehnaev::read;using Ehnaev::write;

const ll mo=19940417;

ll n,m;

inline ll S1(ll x) {return (x*(x+1)/2)%mo;}

inline ll F(ll x) {
  ll r=0;
  for(ll i=1,j;i<=x;i=j+1) {
    j=x/(x/i);r=(r+(S1(j)-S1(i-1)+mo)*(x/i)%mo)%mo;
  }
  return r;
}

inline ll S2(ll x) {return (x*(x+1)*(2*x+1)/6)%mo;}

inline ll G(ll n,ll m) {
  ll r=0;
  for(ll i=1,j;i<=m;i=j+1) {
    j=min(n/(n/i),m/(m/i));if(j>m) j=m;
    r=(r+(S2(j)-S2(i-1)+mo)*(n/i)*(m/i)%mo)%mo;
  }
  return r;
}

inline ll H(ll n,ll m) {
  ll r=0;
  for(ll i=1,j;i<=m;i=j+1) {
    j=n/(n/i);if(j>m) j=m;
    r=(r+(S1(j)-S1(i-1)+mo)*(n/i)%mo)%mo;
  }
  return r;
}

int main() {

  n=read();m=read();if(n<m) swap(n,m);

  ll tmp1=F(n),tmp2=F(m),tmp3=n*n%mo,tmp4=m*m%mo;
  ll ans=0;
  ans=tmp3*tmp4%mo;
  ans=(ans-tmp3*tmp2%mo+mo)%mo;
  ans=(ans-tmp4*tmp1%mo+mo)%mo;
  ans=(ans+tmp1*tmp2%mo)%mo;

  ans=(ans-n*tmp4%mo+mo)%mo;
  ans=(ans-G(n,m)+mo)%mo;
  ans=(ans+n*tmp2%mo)%mo;
  ans=(ans+m*H(n,m)%mo)%mo;

  write(ans);

  return 0;
}