[POI2011]Lightning Conductor
分析一手这个东西：
$$a_j\le a_i+p(i)-\sqrt{|i-j|}\Leftrightarrow p(i)\ge a_j-a_i+\sqrt{|i-j|}$$
于是我们设 $f(i)=\max_{j\in [1,n]}\{a_j-a_i+\sqrt{|i-j|}\}$，则 $p(i)=\lceil f(i)\rceil$。
然后这个绝对值很烦人，我们想办法给它分类讨论掉。
不妨设 $j\le i$，那么就有：
$$f(i)=\max_{j=1}^{i}\{a_j-a_i+\sqrt{i-j}\}$$
此时我们设权函数 $w(j,i)=a_j-a_i+\sqrt{i-j}$，尝试证明其满足四边形不等式。
即证明：$w(i,j+1)+w(i+1,j)\le w(i,j)+w(i+1,j+1)$。
代入我们权函数的定义式，并消去相同项，我们需要证：
$$\sqrt{j-i+1}+\sqrt{j-i-1}\le 2\sqrt{j-i}$$
好像 $j-i$ 可以当作一个整体，不妨设其为 $x$，则我们要证：
$$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\le 2\sqrt{x}$$
两边平方，我们需要证：
$$\sqrt{x^2-1}\le x$$
这是显然的，所以我们得到 $w$ 满足四边形不等式。
到这里我们就可以着手做题了，但我还是想用求导再证一下（不感兴趣的可以忽略这种证明）：
回到 $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\le 2\sqrt{x}$ 这个式子，将其改为：
$$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\le \sqrt{x}-\sqrt{x-1}$$
我们可以通过证明 $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ 是一个单调不增函数来得到这个式子。
那么一个比较好的方式就是求导：
$$f’(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}<0$$
所以说这玩意就是单调递减的。
证明其满足四边形不等式之后，我们回到 $f$ 的定义：
$$f(i)=\max_{j=1}^{i}\{w(j,i)\}$$
由决策单调性定理（的推广），得到 $f(i)$ 满足决策单调性。
然后我们要做的就是如何利用决策单调性来优化，这里使用分治。
具体讲一下流程：假设 $f(x)$（$x\in [l,r]$）的最优决策点在 $[k_l,k_r]$，这个时候我们设 $mid=(l+r)/2$，暴力求出 $mid$ 的决策点 $k$，根据决策单调性将区间分成 $[l,mid-1]$ 和 $[mid+1,r]$ 两段，其最优决策点所在的区间分别为 $[kl,k]$ 和 $[k,kr]$。
用一下主定理就能知道这个复杂度是对的。。。
反过来的话像上面一样推就好了，仍然可以得到：
$$f(i)=\max_{j=n}^{i}\{w’(i,j)\}$$
其中 $f(i)$ 是满足决策单调性的，且决策点随 $i$ 的减小而减小。
时间复杂度 $O(n\log n)$。
代码：
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| #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
#define ld long double
using namespace std;
namespace Ehnaev{
inline ll read() {
ll ret=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<48||ch>57) {if(ch==45) f=-f;ch=getchar();}
while(ch>=48&&ch<=57) {ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;ch=getchar();}
return ret*f;
}
inline void write(ll x) {
static char buf[22];static ll len=-1;
if(x>=0) {do{buf[++len]=x%10+48;x/=10;}while(x);}
else {do{buf[++len]=-(x%10)+48;x/=10;}while(x);}
while(len>=0) putchar(buf[len--]);
}
}using Ehnaev::read;using Ehnaev::write;
inline void writeln(ll x) {write(x);putchar(10);}
const ll N=5e5;
ll n,ans;
ld f[N+5],f_[N+5],a[N+5];
inline ld W(ll x,ll y) {return a[x]-a[y]+sqrt(y-x);}
inline ld W_(ll x,ll y) {return a[y]-a[x]+sqrt(y-x);}
inline void DP(ll l,ll r,ll kl,ll kr) {
ll mid=(l+r)>>1,k=kl;
for(ll i=kl;i<=kr&&i<=mid;i++) {if(W(i,mid)>W(k,mid)) k=i;}
f[mid]=W(k,mid);
if(l<mid) DP(l,mid-1,kl,k);if(r>mid) DP(mid+1,r,k,kr);
}
inline void DP_(ll l,ll r,ll kl,ll kr) {
ll mid=(l+r+1)>>1,k=kr;
for(ll i=kr;i>=kl&&i>=mid;i--) {if(W_(mid,i)>W_(mid,k)) k=i;}
f_[mid]=W_(mid,k);
if(l<mid) DP_(l,mid-1,kl,k);if(r>mid) DP_(mid+1,r,k,kr);
}
int main() {
n=read();
for(ll i=1;i<=n;i++) {a[i]=read();}
DP(1,n,1,n);DP_(1,n,1,n);
for(ll i=1;i<=n;i++) {writeln(ceil(max(f[i],f_[i])));}
return 0;
}
|