完全平方数
假如说我们有了一个函数，这个函数 $f(n)$ 表示 $n$ 及其以下的数中的不是完全平方数的整数倍的数量。
然后我们想这个东西如何表示。
很容易联想到 $\mu$，再想一想的话，这个东西好像就是 $|\mu|$ 的前缀和，换句话说，就是 $\mu^2$ 的前缀和。
于是 $f(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu^2(i)$。
然后问题是，这个东西怎么求。
我们显然没有什么现成的公式，考虑直接从意义层面思考这个问题。
考虑一个素数 $p_1$，它的平方 $p_1^2$ 的倍数全部不是合法的，我们从中筛去，一共有 $\lfloor\dfrac{n}{p_1^2}\rfloor$。但是我们再考虑另一个素数 $p_2$，显然我们也筛掉 $\lfloor\dfrac{n}{p_2^2}\rfloor$ 个数，但是我们多筛去了一部分数，这部分数有 $\lfloor\dfrac{n}{p_1^2p_2^2}\rfloor$ 个，我们还要把它加回来。
然后显然这个容斥的系数就是莫比乌斯函数。
不如说莫比乌斯函数其实是一种简单的容斥。
所以说我们最后的答案就是：
$$f(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu^2(i)=\sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d)\lfloor\dfrac{n}{d^2}\rfloor$$
然后考虑出来这个函数有什么用？
我们可以考虑二分答案。
然后就完了。
时间复杂度 $O(T\sqrt{n}\log n)$。
这个 $n$ 的范围适当调大，或者说能多大调多大。
当然如果有什么数学技巧可以对这个范围作近似当然最好。
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| #include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const ll M=1e5;
ll T,n,l,r,cnt;
ll mu[M+5],prime[M+5];
bool f[M+5];
inline void Init() {
mu[1]=1;f[1]=1;
for(ll i=2;i<=M;i++) {
if(!f[i]) {prime[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
for(ll j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=M;j++) {
f[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) {mu[i*prime[j]]=0;break;}
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
}
inline bool check(ll x) {
ll res=0;
for(ll i=1;i*i<=x;i++) {res+=mu[i]*(x/i/i);}
return res>=n;
}
inline ll read() {
ll ret=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<48||ch>57) {if(ch==45) f=-f;ch=getchar();}
while(ch>=48&&ch<=57) {ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;ch=getchar();}
return ret*f;
}
inline void write(ll x) {
static char buf[22];static ll len=-1;
if(x>=0) {do{buf[++len]=x%10+48;x/=10;}while(x);}
else {putchar(45);do{buf[++len]=-(x%10)+48;x/=10;}while(x);}
while(len>=0) putchar(buf[len--]);
}
inline void writeln(ll x) {write(x);putchar(10);}
int main() {
Init();
T=read();
while(T--) {
n=read();
l=1;r=1e10;
while(l<r) {
ll mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) r=mid;
else l=mid+1;
}
writeln(l);
}
return 0;
}
|