ProblemsetAD20211224

有趣的概率题。

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P 大数院举行了一场数学考试，有 $n$ 个人围成一圈。

因为题目太难了，所以每个人都想借鉴其他人的答案。

于是它们会等概率的选择借鉴他两边的人中的任意一个。

现在要求不会被任何人借鉴的学生数量的期望值。

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有一个 $n$ 维的球形空间，球面上有 $n+1$ 个点（可重），求这 $n+1$ 个点用最短距离的方式连接构成的 $n$ 维空间结构包含球形空间圆心的概率。

举个例子，在 2 维的球形空间（圆）上取三个点，可以构成一个三角形，题目即要求这个三角形包含圆心的概率；同理，在三维的球形空间上取四个点，可以构成一个 4 面体，问这个四面体包含圆心的概率。

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题目大概都是些 MO 原题。

但是我不会。

大神救救我。

T1 的 $n\le 3$ 的情况都可以手算。

直觉够好可以直接找到递推式。

每次相当于往中间加一个人，这个人加上旁边的两个人一共有 8 中可能的借鉴情况，每种借鉴情况又分成两边的人是否被借鉴的情况，大力分类讨论就大概能得到一个递推关系。

不出预料的话是一个线性的递推式。

然后可以矩阵快速幂加速，时间复杂度 $O(\log n)$。

T2 可以盲猜 $2^{-n}$。

不会严谨证明。

$n=1$ 就是数轴上的三个点，所以是 $\dfrac{1}{2}$。

$n=2$ 可以手算得到 $\dfrac{1}{4}$。需要用到一些固定点技巧，不嫌麻烦可以直接暴力解析，不出意外可以做出来。

$n=3$ 的话可以暴力做，比如说固定球中的一个三角形，然后选点，这个面积占球的面积的比即为概率。大概需要作曲面积分什么的，应该也能做出来。最后答案是 $\dfrac{1}{8}$。

规律性感觉挺强的，就是不会证。

以上都是些口胡。