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[CQOI2007]余数求和

[CQOI2007]余数求和

这题是整除分块的一个应用。

可以直接推导：

$$\begin{aligned}Ans & =\sum_{i=1}^n(k\bmod i) \\ & =\sum_{i=1}^n(k-i\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor) \\ & =\sum_{i=1}^nk-\sum_{i=1}^n(i\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor)\end{aligned}$$

到这里就差不多了。

我们发现仍然可以把这个东西分块来计算，仍旧是块内的数字都相等，只不过我们要统计的块长会更长，因为需要作一个等差数列求和。

另外，一定要注意这里后面的求和中不要越界，$n$ 与 $k$ 都是其影响因素。

时间复杂度 $O(\sqrt n)$。

代码：

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;

ll n,k,ans;

inline ll read() {
	ll ret=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return ret*f;
}

inline void write(ll x) {
	static char buf[22];static ll len=-1;
	if(x>=0) {
		do{buf[++len]=x%10+48;x/=10;}while(x);
	}
	else {
		putchar('-');
		do{buf[++len]=-(x%10)+48;x/=10;}while(x);
	}
	while(len>=0) putchar(buf[len--]);
}

int main() {

	n=read();k=read();

	ans=n*k;

	for(ll i=1,j;i<=k&&i<=n;i=j+1) {
		j=k/(k/i);if(j>n) j=n; 
		ans-=((j-i+1)*(i+j)/2)*(k/i);
	}

	write(ans);
	
	return 0;
}